在可见光谱范围内，紫色光与红色光相比，前者属于高频短波，后者属于低频长波。以此为延伸，紫外光的频率高于可见光，红外光的频率则低于可见光。

在量子力学体系中，德布罗意——爱因斯坦关系（de Broglie–Einstein relation）是连接微观粒子波粒二象性物理量的核心纽带：它将体现粒子性的物理量（动量 p，一维情形） 和能量 E，同体现波动性的物理量与（波长 λ 和频率ν ）建立关联，其表达式为：E=hν 和 p=h/λ（一维情形），其中 h 是普朗克常数。

由上述关系可直接推导：频率越高，对应粒子能量越高。因此，紫外发散本质是高能量尺度下的发散现象；与之相对，红外发散则是低能量尺度下的发散现象。

在采用费曼图处理多粒子系统时，粒子——粒子通道（简称 PP 通道）与粒子 — 空穴通道（简称 PH 通道）是两个常用术语。

其中，PP 通道特指仅考虑两个费米子间相互作用的情形，具体而言，即仅分析粒子间通过交换一个或多个玻色子形成的关联，及其对粒子宏观物理性质产生的影响。而 PH 通道的考量更为复杂：当两个费米子交换玻色子时，还可能从费米海（Fermi Sea）中激发一个或多个费米子至费米面，同时在费米海中留下空穴；这些新形成的粒子——空穴对会进一步作用于费米子间的相互作用，进而改变系统的关联强度。

因此，利用费曼图研究多粒子系统时，通常需要明确区分是在PP通道还是PH通道下展开讨论，以确保分析的针对性与准确性。

当年笔者在博士论文答辩通过后，就被导师作为博士后留在他的团队继续做计算机模拟研究，并协助他指导一个博士研究生。不久幸运地被推荐到一所大学物理系任教。1991 年又顺利地获得了一笔可观的项目研究经费 ——该项目正是基于笔者的博士论文提出的。在休斯顿大学撰写的博士论文题目为《衬底调制下二维流体的分子动力学模拟研究：嵌入石墨中的铷原子》（Molecular Dynamics Simulation Study of A Two-Dimensional Liquid Modulated by A Substrate: Rubidium Intercalated in Graphite）。这里的 Rubidium Intercalated in Graphite就是在石墨中嵌入铷原子形成的复合物，统称为Graphite Intercalation Compounds——GIC（石墨嵌入复合物）。也就是许多文献中称为“石墨插入复合物”，其结构相当于多层石墨烯内嵌入碱金属原子，只因上世纪尚未出现 “石墨烯（Graphene）” 这一术语。显然，在美国毕业后刚踏上工作岗位的笔者，在第一个项目中便想到用自己熟悉的方法探索超导机理，这无疑是受到了休斯顿大学物理系超导研究热潮的深刻影响。

因此，笔者半路出家，希望通过计算机模拟超导材料结构，以探究超导电性的起源机制。然而，在深入学习超导基础知识不到一年后，笔者逐渐意识到计算机模拟的方法难以实现这一目标。随着更多铜基高温超导材料相继被发现（其中Hg系铜基超导的临界温度已高达 135K），超导界涌现出诸多学派，都试图解释高临界温度的形成机制，为此在许多超导学术会议上，激烈的争论屡见不鲜，有时候甚至相互批评指责。

笔者渐渐意识到，沿着传统路径研究超导机制前途渺茫。自 1911 年超导电性首次被发现，到笔者投身超导研究时，已过去整整 80 年。在这漫长的探索历程中，无数科学家倾尽所能，能想到的差不多都想过了，可以做的都几乎做完了，却仍未完全揭开超导起源之谜。这意味着剩下的问题必定是 “硬骨头”，若再沿老路前行，对笔者而言未免为时过晚。

于是，笔者带着懵懂的想法尝试寻找新路径，为此投入了大量精力和时间，探究理论界的困境究竟何在。因此找来库珀1956年发表的关于两电子形成束缚态的原文【1】，仔仔细细地读了好几遍，意图把每个字的含义都吃透。后来，又购买了施里弗的专著《Theory of Superconductivity》【2】细心研读，以求理解 BCS 理论如何导出能隙和同位素效应，总算搞清楚了在BCS理论的哈密顿量中为什么相互作用能V必须为负值。如果V为正值（即考虑电子间库伦相互作用），在BCS理论的推导中有个对能量积分的被积函数就会变成虚数，因此就没有物理意义。而且当考虑电声子相互作用时，对能量积分的无穷大上限就可用声子频谱的截止频率ωD（德拜频率—Debye Frequency）取代，这样就克服了所谓的紫外发散问题，同时也导致了同位素效应。经过大半年的刻苦钻研后，笔者时而觉得有所领悟，时而又陷入困惑，仿佛什么都没真正弄明白。

一次偶然的机会，笔者读到了原苏联著名理论物理学家金兹堡对超导研究现状的评论【3】，深受启发。下面将其原文摘录如下，供读者参考。

金兹堡博士的这番话对笔者触动很深，这么多年了超导电性起源的真正机制看来还是没有找到，以至于众说纷纭无法达成共识。相比之下，比它发现晚的多的激光和半导体早已进入千家万户，这些事实本身就说明了超导中必定有一个根本性的问题尚未突破。

但是笔者也不知道是什么问题，该从何入手。有时觉得好像明白了什么，转瞬又好像什么都不清楚。当笔者读到金兹堡评论中的这段话，“……当人们付出前所未有的努力仍无法达成共识时，回顾历史、审视起点就变得必要且不可避免，其中包括那些被广泛接受并深信不疑的旧有概念。……从这一历史经验来看，可以说，若不能在旧有概念上取得突破，超导机制研究便难以取得实质性进展，学界也无法达成共识。”对笔者的启发特别大，笔者逐步坚信超导理论中一定有一个重大的物理概念或者模型有待发展或突破。很快，关注点落到库珀对上，经过一番讨论和研究逐步清楚了库珀对的概念是在动量空间而非真实空间的这一重大差异。

1997 年的一场学术会议上，笔者在 BCS 理论创始人之一施里弗（J.R. Schrieffer）博士的现场聆听下发表了演讲，内容得到了他的认可与高度赞扬。这份肯定不仅令笔者备受鼓舞，更坚定了笔者与Yuriy沿该方向继续探索超导机理的信心。

然而，基于此次演讲内容及 “库仑力在动量空间反号导致库珀对束缚态” 这一创新思想撰写的论文，却遭遇了重重阻碍：既难以获得再次公开演讲的机会，也迟迟未能在学术期刊上发表。这正是笔者 1998 年发起创办国际超导 “三新” 大会（New³SC）的核心动因——通过开辟这一专属学术论坛，既为公开宣讲FM理论的思想与成果提供了平台，也为相关论文的发表打通了渠道。鉴于笔者在发表不同学术观点时遭遇的挫折，自首届超导“三新”大会举办以来，大会便始终坚持“开门办会”方针，允许不同学术观点与学派同台演讲、平等交流。

筹备大会期间，笔者首先想到邀请金兹堡（V.L. Ginzburg）博士担任大会顾问，他欣然应允，并连续多届履职。当然，施里弗博士也受邀成为大会顾问——这正是首届“三新”大会能够吸引超导领域众多顶尖学者参与、最终圆满成功的重要原因之一。

此后，笔者在学术交流中更添信心，又先后邀请了另外五位诺贝尔物理学奖得主担任大会顾问：其中，除安德森（P.W. Anderson）外，阿布里科索夫（A.A. Abrikosov）、劳夫林（R. Laughlin）、缪勒（K.A. Muller）与莱格特（Anthony J. Leggett）均曾接受邀请担任 “三新” 大会顾问（部分学者多次担任顾问）以示支持；尤为特别的是，阿布里科索夫还曾亲临某一届大会，并发表了特邀报告。

在上述七位诺奖得主中，除金兹堡、缪勒和莱格特以外，笔者与其他4位均当面交谈过，并且通过电子邮件与施里弗、阿布里科索夫、安德森、金兹堡及劳夫林交流，其中与施里弗、阿布里科索夫、安德森三人的沟通最为频繁。有趣的是，安德森虽不愿担任大会顾问，更拒绝参会，却与笔者通过电子邮件多次交流，还特意强调自己在超导领域的贡献，笔者至今清晰记得他的一句话：“……I have served as an instrument of superconductivity……”。此外，在与阿布里科索夫的通信交流中，他对当时超导学界的几乎所有学派均持批判态度，其言辞之尖锐程度难以言表。而施里弗博士则显得较为温和低调，笔者从未听闻他批判过任何同行；我们之间的交流也始终聚焦于学术问题，未涉及其他无关事项。这段经历让笔者受益匪浅，也得以深入了解超导理论领域诸多学术观点的争议与分歧。

然而，究竟该如何前行：是基于量子力学的哈密顿量展开研究，还是借助量子场论的方法从多体理论中寻找突破口？这是一个令人十分困扰的问题。笔者意识到似乎应选择第二条路径：由于采用量子场论研究超导的学者较少，成功的可能性或许会大一些，但这条路的难度也极高。笔者也了解多体理论中的费曼图示法，但当年在休斯顿大学仅学过一点皮毛，知之甚少。

直到 1992 年，Yuriy Malozovsky以博士后身份加入笔者的研究团队，两人得以朝夕相处，时常有机会深入交流超导领域的问题。半年后，笔者偶然发现他对费曼图示法的理解远比笔者深刻，当即产生了浓厚兴趣，便与他共同深入探究费曼图在量子场论中的应用。自此，共同一起逐步运用量子场论中的费曼图示法分析推导多粒子电子系统的关联问题，进而采用了 “图示迭代法”（Diagrammatic Iterative Approach），成功处理了发散问题，并将这一方法应用于YBCO这类层状结构的超导材料中，最终导出了超导临界温度的复杂解析表达式，具体如前篇文章末尾所示。

如前所述，这一临界温度表达式为超导实验学家指明了方向，为寻找高临界温度（直至室温及以上）的超导材料提供了可行路径。然而知晓这一表达式的学者却寥寥无几，至今未能引起关注。

写到这里，笔者不禁回忆起 1992 年之后，笔者与Yuriy在十多年间并肩奋战、共同钻研超导机制理论的日日夜夜。笔者至今记得，Yuriy和笔者曾至少三次在办公室连续工作昼夜未休，直至天明也未曾回家。笔者将中国人吃苦耐劳的精神带到了美国，而Yuriy从前苏联移民美国后不久便与笔者共事，他对这样的高强度工作也完全能够适应。说实话，笔者如今掌握的费曼图示法知识，很大程度上要归功于他——他是一位在前苏联教育体系下接受过严格训练的理论物理学家。双方的偶然相聚、共同合作为超导机制理论奋斗，或许正是天赐与缘分的眷顾；可以说，两人中若缺少任何一方，都不可能取得 FM 理论的研究成果。

超导机制理论的研究方法大致可分为两大类：宏观唯象理论、微观量子理论。其中，微观理论包含量子力学和量子场论两种研究方法；而另一类则主要依托蒙特卡洛方法、第一性原理、动态平均场理论、密度泛函理论等计算方法，这些方法往往与宏观、微观理论中的模型结合使用，起辅助支撑作用，也被学界大量研究和广泛应用。

上述唯象理论的典型代表为金兹堡——朗道（GL）理论和伦敦方程组。基于量子力学的研究方法以哈密顿量为核心工具，对于多粒子系统，采用二次量子化后的哈密顿量进行分析往往更为便捷，BCS 理论和博戈柳博夫理论便是运用这一方法的经典范例。特别是 BCS 理论，抓住多电子系统总动量和总自旋相对其质心坐标都为0这一特点，进一步用动量、自旋都相反的电子对来简化二次量子化哈密顿量，从而得到了著名的 BCS 哈密顿量。它们的所有成就都是基于这个进一步优化后的哈密顿量而取得的。

而量子场论方法不直接处理粒子的物理量，而是以各类场为研究对象，将粒子视为相应场的激发态，伊利亚什博格理论正是这一方法的代表。FM 理论所采用的研究方法即属于量子场论这一类。

为了更清晰地描述超导机制研究的各种理论方法之间的关系，笔者打算用下面的方块图展示给读者，以便看清它们之间的联系和脉络。

FM 理论选择以量子场论为核心方法，并采用费曼图示法处理多电子系统，因此不再聚焦于量子力学框架下多电子哈密顿量的具体形式。

多电子系统的关联性本质上源于电子间的库仑相互作用；若系统处于晶格环境中，还需考虑电声子相互作用。这两种相互作用均属于晶格中多电子系统的基本内在属性，二者在系统中同时存在且相互竞争，共同影响着系统的宏观物理特性。

在量子场论框架下，当系统关联性较弱时，通常采用微扰理论进行处理——但即便如此，仍会面临 “紫外发散” 与 “红外发散” 的问题。其中，紫外发散的根源，实则是理论推导中 “能量积分范围从0延伸至无穷大” 这一数学形式所带来的困扰。以弱关联体系的经典理论——BCS 理论为例，尽管它采用量子力学方法处理多粒子问题，却仍需面对 “能量积分从0到无穷大” 的发散难题。不过，BCS 理论仅聚焦于电声子相互作用，因此巧妙地引入实验中可观测的晶格振动截止频率（即德拜频率），用以替代无穷大的能量积分上限，最终成功消除了这一发散问题。

然而，当研究对象转向电子间库仑相互作用时，由于不存在类似的 “天然截止频率”，科学家们转而采用重整化方法解决发散问题。值得注意的是，若采用费曼图示法处理多电子系统的相互作用，同样会遇到上述发散困难——而这正是 FM 理论试图攻克的核心问题之一【4】。

下面，笔者将简要介绍一些费曼图的入门知识以及以此为基础的费曼图示迭代法，或简称图示迭代法（Diagrammatic Iterative Approach）。

基于本文的宗旨，将不会深入探讨每一个推导细节，以免陷入繁杂的数学演算之中。

如第二篇文章中简单介绍过的，在费曼图示法中以一条带箭头的实线表示费米子的传播子，该传播子的物理量就是费米子格林函数；而玻色子的传播子以虚线或者波线来表征，其对应的物理量是玻色子格林函数。

当然，FM 理论也是在多粒子系统领域诸多前人重要成果的基础上发展而来的，例如戴森方程（Dyson Equation）、沃德恒等式（Ward’s Identity）以及米格达尔表达式（Migdal Expression）等。这里所说的戴森方程，是处理多粒子系统中两个重要函数的自洽方程，即费米子的格林函数G和玻色子格林函数D。下面以费米子的戴森方程为例：

G=G₀+G₀ΣG 

（公式1）

上式中的G（k）是费米子格林函数，而G₀（k）是自由费米子的格林函数，即在没有相互作用时的格林函数；Σ称为单费米子自能函数，如前所述，它代表所研究的费米子与周边其他所有费米子反复交错相互作用后的结果。上述戴森方程表明，一个费米子在时空中的传播子，是在其自由传播子的基础上，叠加因受其他费米子影响产生的改变而形成的。公式中的单费米子自能函数Σ将所有其他费米子对它的影响打包其中，并通过戴森方程形成自洽（迭代）关系。此外，对于玻色子也有一个类似公式1的戴森方程，这里就不再赘述。

下面所讨论的费米子特指电子，因此公式1也是电子格林函数的戴森方程，以下就把费米子特指为电子，而玻色子可能是光子也可能是声子，所以仍然保持玻色子的称呼。

下面从前苏联物理学家米格达尔（Alexander Migdal）于1958年在研究电声子相互作用时得出的单电子自能公式出发提出的一个米格达尔表达式【5】

公式 2

上式中的p和k是四维动量（p₁, p₂, p₃, p₄和k₁, k₂, k₃, k₄），这里的p₄和k₄都代表能量；这里的G（p-k）是电子格林函数，D（k）在米格达尔表达式中是声子的格林函数；Γ(p, k) 称之为顶点修正，它代表的是所有其它电子对研究中的电子相互作用的集合。

根据费曼图的绘制规则，上述米格达尔表达式可通过图 1 直观呈现。在米格达尔的研究体系中，该图特指电声子相互作用场景下，描述单电子自由能的费曼图，各组件的物理意义明确：

图1. 带顶点修正的单电子自能费曼图

公式3

在上述恒等式中，左侧的 

代表两电子相互作用核（Interaction Kernel），其物理地位至关重要——作为顶点修正Γ（p, k）的核心构成部分，它的数量由费曼图的阶数（即计算精度）决定，可表现为单项或多项；式中右上角标记σ和σ' 则分别对应两个电子的自旋量子数，明确了相互作用过程中的自旋关联属性。

恒等式右侧描述的是单电子自能 ∑ 对电子格林函数 G 的一阶泛函导数，这一数学关系可通过费曼图的 “图示化求导” 直观呈现，具体操作逻辑可结合一阶导数的极限定义理解：

1. 定义中 “微小变化量” 对应图示中的δG即电子传播子的微小扰动），当δG发生时，需先将费曼图中代表电子传播子的实线“切断”；

2. 实线切断会直接引发单电子自能的变化，记为δΣ，而δG与δΣ存在严格的对应关联；

3. 最后将 “切断后并伴随δΣ变化” 的图形结构重新伸展开，所形成的新拓扑图形即为公式3左侧的两电子相互作用核K。

图2. 单电子自能图的结构分解

为简化后续讨论，电子自旋量子数符号σσ'将暂时省略，仅聚焦核心物理过程与图示逻辑。值得一提的是，上面提及的图示迭代法正是以沃德恒等式（公式 3）及米格达尔表达式（公式 2）而来的，其核心区别在于采用费曼图示法规则进行操作，而非传统的解析运算。

以下将在 PP 通道 中，通过“图示求导法”对费曼图进行逐步操作，最终构建出具有级数特征的费曼图群，具体步骤如下：

1. 初始假设与基准图形定义

首先假定初始顶点修正 Γ₀=1，这一假设的物理含义是暂不考虑其他电子的多体相互作用影响——对应到图1中，即需将代表顶点修正的黑色区域完全抹去，由此得到的简化图形，正是图2中等号右侧的费曼图。该图形的物理意义明确，为一阶电子自能图，是后续所有高阶图形的构建基础。

2.一阶电子相互作用核K₁的图示推导 

对图 2 右侧的一阶电子自能图，应用前文所述的 “图示求导法”：将图中代表电子传播子（格林函数G）的实线切断，再对切断后的图形结构进行伸展重构，最终得到的拓扑图形即为图 3 （a） 所示的 一阶电子相互作用核K₁.

3. 一阶顶点修正Γ₁的构建

以刚推导得到的一阶相互作用核K₁为核心组件，可进一步构建出一阶顶点修正Γ₁，其具体图形结构如图 3 （b） 所示。这一步实现了从“相互作用核”到“顶点修正”的转化，为后续高阶图形的迭代构建提供了关键单元。

图3. （a）在PP通道所获得的一阶两电子相互作用核K₁费曼图 ;（b）利用图3（a）构建的一阶单电子自能顶点修正Γ₁

为帮助读者更好地理解费曼图的物理内涵与图形逻辑，笔者在此补充几点基础说明，以解答可能存在的疑问：

细心的读者或许已注意到，图 3 （a） 中代表电子传播子的两条实线未标注箭头方向（箭头）。这一设计并非疏漏，而是由其物理意义决定：图 3 （a） 描述的是两个电子通过交换一个玻色子产生相互作用的过程——由于仅从该图的拓扑结构，无法判断两个电子中“谁发射玻色子、谁吸收玻色子”，因此电子传播子的流向（即箭头方向）具有任意性，无需明确标注。

但需特别注意：当将图 3 （a） 中的相互作用核K₁嵌入顶点修正、用于构建自能费曼图时，电子传播子的方向必须严格明确，图 3 （b） 的标注方式正体现了这一要求。此处的 K₁ 即为前文推导的一阶相互作用核，也是构建一阶顶点修正Γ₁的核心组件，其具体组合形式如图 3 （b） 所示。

对于图 3 （b） 的结构由来，若读者感到困惑，可以这样来理解：

图 3 （b） 中带有 “尖角” 的顶点，本质上与图 2 等号右边自能图中 “右侧的顶点” 完全一致，只不过为了更清晰地突出顶点修正的含义，故意将原结构进行了轻微折弯。同时还把连接该尖角顶点的代表玻色子格林函数的虚线切断、拉直、放平并悬空，就构建出图3 （b）。

利用图 3（b），可快速构建 PP 通道下的二阶电子自能费曼图，具体有以下两种构建方法：

1.   针对尖角上方的实线：先将其弯曲为半圆形，使半圆顶端与水平虚线的悬空段相连，并将该实线末端的箭头调整为向右指向；随后将尖角下方的实线拉直放平，即可得到图 4 左侧的图形，此即 PP 通道中的二阶自能费曼图。

2.   直接对表征玻色子格林函数的 “悬空水平虚线” 进行操作：将其扭转 180 度后，与尖角下方那条实线的尾部附近连接（需注意：连接点必须位于原有顶点的左侧）；再将整条实线拉直放平，最终形成图 4 右侧的自能费曼图。

图4. 在PP通道所获得的二阶单电子自能费曼图子图

由此可见，对于同一个物理量，其对应的费曼图可以有两种甚至多种绘制方法，前提是不违背费曼图构建的基本规则。在此有必要向读者简要介绍费曼图的核心构建规则：图形的几何形态不影响其物理意义，只有拓扑连接关系才决定了它所对应的物理过程与物理量。具体表现为：

• 代表费米子格林函数（如电子传播子）的实线：可根据绘图需求弯曲成任意角度或弧形、半圆形以及保持直线。无论其形状如何变化，它所描述的费米子传播的物理本质始终不变。

• 代表玻色子格林函数（如光子、声子传播子）的虚线：同样可绘制为直线、弧线甚至半圆形。形态的选择仅以 “方便与费米子实线形成顶点连接” 为原则，并不改变其描述玻色子传播的核心物理意义。此外，两条虚线可以交叉，但交叉点并不构成任何形式的连接，也不会改变它们各自所表征的物理意义。

进一步对图 4 的二阶自能费曼图应用沃德恒等式图示求导法，可推导得到二阶相互作用核 K₂。此处需重点说明：在图 4 的拓扑结构中，任意两个相邻顶点之间的电子格林函数实线，均为可切断的 “有效传播子段”；通过直观分析可见，图中共有三个这样的可切点（图中在b、c、d三点由短波线所标示），这一特征直接决定了 K₂ 并非单一图形，而是由三个独立子图共同构成的集合。

以 K₂为核心组件，可继续遵循 “相互作用核→顶点修正→自能图” 的迭代逻辑，进一步构建直至三阶的自能费曼图。为引导读者深化对图示规则的理解与应用，建议有兴趣的读者参照前文所述的 “切断—重构—组合” 操作流程，自主尝试绘制 K₂ 的三个子图、对应的二阶顶点修正Γ₂，并逐步推导三阶自能费曼图的具体拓扑结构，此处不再对每一步细节展开赘述。作为一个更为简单的练习，感兴趣的读者可以先尝试如何把图4等号左边的费曼图变成等号右边的图形，然后再把右边的图形转为左边的。若读者在操作过程中遇到困难，且对费曼图示法抱有强烈探索意愿，可与笔者联系交流。

事实上，上述从低阶到高阶的构建逻辑具有普适性——只要重复“求导得相互作用核→组合得顶点修正→拓展得高阶自能图”的操作，理论上可构建出任意阶数的自能费曼图，其数量在原则上是无穷多的，这也体现了多电子系统多体关联效应的层级性与复杂性。

截至目前，通过费曼图研究多电子系统的核心框架（从基础图形到高阶迭代）已清晰呈现，整体操作逻辑似乎并不复杂。但必须明确的是，以上内容仅触及多电子系统关联问题的 “冰山一角”：到此为止，所有的讨论仅限于PP通道，下面还将介绍在PH通道中电子系统相互作用产生的复杂关联费曼图。

在 PH通道中，仍然采用费曼图来研究多电子系统的相互作用，需特别关注玻色子传播过程中的一个关键物理现象：在被另一个电子吸收前，玻色子可能激发产生一个粒子—空穴对，在这里就是电子—空穴对，这一过程在费曼图中通过 “带逆时针箭头的实线环” 来标识，其对应的拓扑结构被称为“电子空穴对圈圈”也简称为 “泡泡”（Bubble）。

该泡泡的物理本质可具体阐释为：费米面下方（费米海中）的一个电子，因外界扰动（如光子激发）跃迁到费米面附近的空态，同时在原位置（费米海中）留下一个空穴。这种电子与空穴的耦合体系会对研究对象（目标电子）产生新的多体扰动，而这种扰动必然会反映在费曼图的相互作用核（K）中，使其拓扑结构与物理内涵发生新的变化。

从过程演化来看，电子—空穴对并非稳定存在后续电子与空穴可重新复合并消失，而此前激发它们的光子则继续传播，直至被另一个电子吸收。理论上，这类 “光子激发→电子—空穴对产生→复合→光子被再吸收” 的过程可无限重复，形成无穷多的关联效应。

为简化分析并聚焦核心物理过程，首先仅考虑单个电子—空穴泡泡的贡献。引入这一泡泡后，一阶自能费曼图的拓扑结构会发生变化—相较于无泡泡的情形，图中新增了两条代表电子（或空穴）传播的格林函数实线。

当对该一阶自能图应用沃德恒等式图示求导时，可切断的电子格林函数实线数量也随之增加：不再是图 2 中仅有的 1 个可切点，而是形成了图 5 （a） 中标注为 b、c、d 的3个可切点，具体切割与重构结果如下：

1.   b 点切割与子图生成：在 b 点切断实线并将图形伸展开后，得到图 5 （b） 所示的子图。需注意的是，此时电子——空穴泡泡的物理效应已被整合到相互作用核中，因此泡泡无需再单独画出；进一步观察可发现，图 5 （b） 与图 3 （a） 的核心拓扑结构完全一致，仅存在几何形态差异（图 5 （b） 相对图 3 （a）旋转了 90°，且部分直线变为折线）。

2.   c、d 点切割与子图生成：分别在 c 点、d 点切断实线并伸展，可得到图 5 （c） 与图 5 （d） 所示的两个独立相互作用核费曼图。

以图 5 （b）、（c）、（d） 这三个相互作用核为基础，可进一步构建对应的顶点修正，其具体图形如图 6 所示。为帮助读者理解图形关联，此处特别说明：图 6 中带尖顶的顶点，本质是将图 5 （a） 中原顶点修正区域的格林函数实线折成特定角度形成的，目的是更清晰地标识顶点位置；而尖顶右侧的虚线，则与图 5 （a） 中代表玻色子传播子的虚线完全对应，物理意义未发生改变。但是该玻色子虚线被切断、拉直、放平并在右端悬空就成了图6那样的拓扑结构。

利用图 6 的顶点修正图，可继续迭代构建更高一阶的单电子自能费曼图（如图 7 所示）。细心的读者可能已注意到，图 6 中 “从右向左数的第二个图” 前方标注了数字 “2”——这一标注源于对称性导致的简并效应：该图对应的物理过程存在两个贡献完全相同的子图，仅几何排布略有差异，因此用数字“2”统一标识其总贡献。这一简并性也延续到了高阶自能图中：图 7 第二排的前两个自能图即为对称结构，二者对单电子自能的贡献完全相等。

由此看出，在PH通道中二阶自能费曼图就比PP通道中的同阶费曼图多出三个，可以想象再往下继续反复应用沃德恒等式图示求导法PH通道中的每一阶的自能图都会比PP通道中的费曼图多，阶数越高会成几何级数增长。可以想象继续操作下午生成的费曼图就越来越多，使人无穷无尽、如堕深渊。

目前所讨论的费曼图群，仅是 PH 通道中仅考虑单个泡泡图的结果。若再增加几个泡泡，工作量将是灾难性的；再加上PP 通道以及自旋等可能的更多通道的费曼图。考虑电子的费曼图群，其包含的费曼子图数量更是难以想象。

此外，从上述分析可见，即便是二阶费曼图，PH 通道的数量也多于 PP 通道，这是因为 PH 通道不仅涉及电子——电子相互作用，还包含电子——空穴相互作用。同时，一阶相互作用核（见图 5）中实际已包含二阶修正，因此在 PH 通道中将其称为“一阶修正”并不恰当。在 FM 理论中，这一阶段被称为 “第一步（First step）”，后续通过沃德恒等式继续推导的过程则依次称为第二步、第三步……,每一步可能包含两阶甚至更多阶的修正项，这进一步体现了多粒子系统相互关联的复杂性。

即便仅考虑单个泡泡，其通过迭代耦合也会引发连锁反应：衍生出无穷多个不同阶的相互作用核，进而构建出无穷多个高阶自能费曼图。由此可直观体会到多电子系统关联效应的复杂性 —— 无论采用何种理论框架,“无穷多关联项”都是绕不开的核心问题；具体到费曼图方法中，需叠加PH通道与PP通道下各自无穷多的费曼图，才能完整描述系统的多体效应。

图7.  在PH通道所获得的二阶单电子自能费曼图

因此，再次充分利用费曼图简化表征多粒子系统关联效应的优势，在 PH 通道每个高阶费曼图的顶点上添加黑色区域，以表征无穷多费曼子图对目标电子顶点修正的影响（如图8所示）。进而顶点修正的改变就会导致电子自能的变化。读者不难想象一下要是用积分方程来表示各式各样的修正，那该要写出多少四维积分方程！

图8.  计及PP通道、PH通道以及可能得其它通道多电子系统顶点修正费曼全图

至此，读者对采用费曼图示法来研究多电子系统有了初步认知，遵循本文宗旨再继续深入探讨就没有必要了。从上面的介绍中读者对多电子系统关联效应的复杂性有深刻理解，若仍沿传统思路推进研究，无疑会陷入难以挣脱的困境。

面对这无数的费曼图，FM理论注意到一个严峻的问题那就是高阶图的贡献，可能比低阶图还大。因此没有采取部分求和的办法，那样的不确定性所导致的结果是无法估量的。经过仔细观察和分析发现在 PH 通道中绘制出第三步的所有费曼子图后，可按特定规律把它们划分为不同小组，且组内可通过低阶费曼图构建出高阶费曼图，无需继续依赖沃德恒等式推导，极大简化了研究流程。更重要的是，每个小组中无穷多个子图的贡献，可进一步用一个等效图来统一表征；而这些等效图，最终还能凝练为 “Π形结构” 的等效图。有趣的是，最终的Π形等效图，也呈现出类似戴森方程的数学结构。

细心的读者或许会注意到：费米子已被确指为电子，却未标注玻色子具体是光子还是声子。这意味着，无论是电子间的库仑相互作用，还是电声子相互作用，均被整合到了统一的理论框架中。同时，该理论也未限定仅适用于弱关联或强关联体系，这恰恰体现了这套费曼图方法的普适性，能够覆盖多电子系统的各类关联场景。此时，FM理论并未逐一分析费曼图是否发散，而是通过等效图笼统地替代全体库仑关联的量子效应，从而避开了紫外与红外发散问题，同时也规避了部分选项带来的困扰，这便是FM理论针对多电子系统关联问题中令人棘手的发散困难所采用的处理方法。

可以看出，FM理论所采取的办法多少有点像早期处理发散问题的重整化方法，那里是把发散打包到电子的质量和电荷中用有效质量和有效电荷来替代裸电子的质量和电荷，而这里是把所有对目标电子的关联效应——强的或弱的，发散的或不发散的，通通打包到等效图里面。这样一来，FM理论就成功地解决了或说回避了那个令人头疼的发散问题，也隐晦地处理了强关联在数学上无法展开的问题。最后得到的等效图所呈现出的类似于戴森方程的结构就明显地展示了微观电子系统内含的自洽过程，因此有理由相信这样的处理办法是可以接受的。当然正确与否就交给实验去验证吧。

不过，研究推进至最后阶段仍需面对一个问题：即便得到等效费曼图，仍需明确其物理意义并推导对应的物理参数表达式，这最终会回归到复杂的四维积分公式——直接求解该积分在现实中几乎无法实现。

但实际上，人们真正关注的并非目标电子自能的具体数值或相互作用核的强度，而是系统从正常态转变为超导态的临界条件，其中最核心的物理量便是临界温度。从数学角度看，这种相变对应着被积函数的分母出现极点（Pole）——即通过令积分被积函数的分母等于0，求解该方程可得到临界温度的复杂表达式（如第三篇内容末尾所列公式）。由于本文聚焦强关联现象，推导过程中未引入任何与电声子相互作用相关的物理量，因此最终得到的临界温度公式仅与材料母体的固有参数相关，例如介电常数、层间距离、载流子浓度及电子等效质量；而没有任何显现与晶格参数有关的物理量，比如德拜频率。这是因为在强关联情况下电声子相互作用的影响甚微而被完全忽略了。

当然，作为一个涵盖高低温整个温区的超导理论，也应该有一个涵盖全温区的同位素效应的结果及同位素指数可为正可为负也可为零。这个结果也已经被FM理论推导出来了，有兴趣的读者可以参阅相关论文【6】。

在 BCS 理论发表之后，当时支持该理论的一项强有力实验证据是：磁通量子化中出现的 2e 因子，以及金兹堡——朗道理论序参数里的 e*=2e 因子，均被视为库珀对中两个电子结合成等效玻色子的佐证——这种等效玻色子具有 2e 的电荷和零自旋。这也使得超导领域长期以来普遍认为，库珀对是在坐标空间中形成的。

然而，FM 理论已经严格证明，这一2e因子的来源并非库珀对中两个电子的结合，而是源于对所谓规范不变性和伦敦方程的满足【8】，其数值与库珀对恰好包含两个电子纯属巧合。事实上，朗道在世时就坚决反对将其理论中出现的 e*=2e 与库珀对关联起来【3】；但在朗道去世后，金兹堡的观点似乎发生了转变，转而支持了多数人的看法。

在这里，笔者想提出FM理论的观点供读者参考：BCS 理论提出的 “具有相反动量和自旋的两个电子可形成束缚态” 的物理模型，是极具革命性的创举，对人们理解超导微观机制起到了决定性作用。但两个电子间先天存在的库仑排斥力如何转化为束缚态，始终是困扰科学家的重大挑战。巴丁、库珀、施里弗三位科学家提出用电声子相互作用替代库仑相互作用，这想必是一种不得已的选择。在金属这类材料（即所谓的弱关联体系）中，这种处理方式看似可行，也确实能推导出若干与实验观测相符的重要结论。问题在于，正如前文所指出的，将电声子模型作为库珀对的形成中介，既会引发逻辑层面的矛盾，也为后续解释高温超导现象埋下了困惑。为此，人们不得不尝试构建各式各样的库珀对中介机制，反而衍生出一系列新的矛盾。

因此笔者认为，有必要思考这样一个问题：电子间的库仑排斥力在坐标空间与动量空间中，究竟是始终保持一致，还是存在不同的可能性？事实上，物理量从坐标空间到动量空间的转换需通过傅里叶变换实现，二者显然会存在差异，这一点学界并无异议。既然如此，库仑势在坐标空间与动量空间中为何就不能发生变化呢？

另外，笔者认为在超导界长期以来似乎存在一种共识：两个电子好像孪生兄弟那样成对的一直向前。这实际上是把库珀对看成是在真实空间中，电子并排成对无阻力地在晶格中穿行。在这里，笔者打算阐述一下FM理论对这个问题的观点：“库珀对”形成于动量空间，而非坐标空间（又称位置空间或真实空间）。这一观点曾在 1997 年美国物理学会东部地区及德克萨斯州分会年会上得到阐述——当时，笔者在该分会上作了“正确理解库珀对”的专题报告，着重强调库珀对的概念及其形成均存在于动量空间。在量子力学领域，动量空间与坐标空间存在倒易关系，二者的相互转换需通过傅里叶变换实现。由此可知，从坐标空间视角来看，“库珀对” 中的两个电子实际上反映的是其在动量空间的能量状态，它们在坐标空间中并非一定相邻，间距可能达到微米级（及电子相关长度）。因此，“电子在坐标空间成对结合并穿过晶体”的观点并不准确。主持该分会场的正是诺贝尔奖得主、BCS 理论创始人之一的施里弗博士。他当场自发给予积极评价，对笔者的报告赞不绝口，指出库珀对这一问题多年来一直被广泛误解。他表示：“我多次批评此事，但无人理会，大家只是互相抄袭……” 他还进一步提到，笔者当天对库珀对的阐释是正确的，终于澄清了这一问题；此外，他邀请笔者到其任职的美国国家高磁场实验室，共同探讨和研究超导机制。然而，由于他次年当选美国物理学会主席后日程繁忙，这一邀请不得不推迟。此后，双方通过电子邮件保持了相当长一段时间的联系，后来因施里弗因故选择隐居，笔者便与他失去了联系。值得一提的是，在当晚的宴会上，施里弗博士还主动向笔者敬酒，这一举动引起了在场所有人的密切关注。

现在来分析坐标空间中是否存在库珀对，答案是否定的。因为无论在正常态还是超导态，坐标空间中电子间的相互作用都是库仑排斥力，两个电子无法形成紧密关联的束缚态。不过，在动量空间形成库珀对的两个电子，在坐标空间中确实存在一种特殊的量子关联。因此笔者建议，将这对具有特殊量子关联的粒子称为 “伙伴电子对”，以避免与动量空间中的库珀对产生混淆。伙伴电子的特性是：具有相反的动量、相反的自旋，以及相同的动能和势能。它们之间的空间距离可近可远，最大间距可能达到微米量级（相干长度）。这些电子在晶格中“独立”运动，既相互排斥，又受晶格吸引而发生散射，因此呈现无规则运动状态。需要说明的是，伙伴电子间的量子关联是内在属性，而所谓的“独立”运动却是相对而言的，其独立性具有一定限度。

从本篇第四节内容可明确：借助费曼图示迭代法已成功导出超导临界温度公式，该公式对室温超导探索具有重大意义。正如第三篇所述，实验研究者可依据 AI 技术给出的结果与思路，设计高临界温度材料的结构，并通过反复实验以期实现临界温度的最大化。

在临界温度的整个推导过程中，并未涉及 “电子是否成对” 这一问题。原因在于，正如第四部分所详细阐述的，FM 理论对电子间相互作用的考量，聚焦于正常态下电子的关联问题。当电子系统从正常态发生超导相变后，会形成“四位一体”的库珀对结构，此时在坐标空间（真实空间）中便可观察到超导电性。FM 理论的核心论述集中于相变发生之前：一旦推导出相变的临界温度，其第一阶段的研究目标便已达成。而系统进入超导态后的物理图像，则与 BCS 理论的超导观基本一致；二者的根本差异在于，FM 理论中库珀对束缚态的形成根源，并非电声子相互作用，也不是其他理论模型所提出的各类中介机制，而是被简单且唯一地归结为符号反转的库仑相互作用。

显然，电子间的关联效应在超导态与正常态中存在重大差异：在超导态中，电子间的关联主要由库珀对束缚态决定；而在正常态的坐标空间中，每个电子虽看似相对独立，但原则上彼此间均存在关联。

至于超导态形成后，电子的微观行为如何导致零电阻效应，这无疑是一个极其重要且备受关注的问题。现将 FM 理论的 “统一机制超导观” 归纳如下：

1.   两种相互作用共存并竞争

FM 理论认为，在超导材料中，库仑相互作用和电声子相互作用是共同存在且相互竞争的。基于这一事实，对在超导材料中所观察到的奇特同位素效应可做如下定性解释：在高载流子浓度（即弱关联）情况下，电声子相互作用与库仑相互作用处于同一数量级，因此，电声子相互作用导致的同位素效应显著，常规超导体就属于这种情况。然而，在低载流子浓度（即强关联）下，强大的库仑相互作用完全掩盖了微弱的电声子相互作用，这就是非常规超导体（即高温超导体）没有同位素效应的原因。

2. 库珀对的起因

在特定条件下，材料中的电子的确可以在动量空间中形成库珀对。这一特定条件是两电子的动量和自旋均相反，且两电子间的库仑相互作用力由坐标空间中的排斥力转变为动量空间中的吸引力【9】，而临界温度便是形成库珀对的外界条件。也就是说，只有在临界温度下形成的库珀对才是稳定的。由此可见，库仑相互作用才是形成库珀对束缚态的根源，无论是常规超导体还是非常规超导体均是如此。简而言之，库仑相互作用是形成库珀对的根源，电声子相互作用是同位素效应的成因。

3.   库珀对的四位一体结构

如上所述，基于泡利不相容原理，动量态 k 和 - k 分别都可以容纳两个自旋相反的电子。因此，当两个电子形成库珀对时，理应还有一个库珀对与之相伴，从而形成四位一体的库珀对结构。FM理论已经证明四位一体结构的束缚能的绝对值是单个库珀对束缚能两倍。因此，四位一体结构更加牢固【7】。

4.   超导态中电子在坐标空间中的行为

根据 FM 理论，当系统进入超导态后，全体电子会在动量空间中形成由库珀对构成的 “四位一体” 结构，该结构中两个库珀对称之为关联的两个伙伴电子对。从晶格（即真实空间）观察电子行为：电子间的相互作用仍表现为库仑排斥力，彼此推挤形成不规则运动。此时，电子间的关联效应与正常态截然不同，主要取决于伙伴电子对中的两电子的关联，以及两伙伴电子对的协同作用。

由于原子质量约为电子质量的数千至数万倍，晶格质量可近似视为无穷大。当电子在晶格中运动时，既受晶格中正电原子核的吸引，又受其他电子的排斥；在这多重吸引和排斥力的综合作用下，目标电子可能与晶格发生碰撞（即散射）。因晶格保持静止，只要电子速度不够大——即相应动能不足以克服能隙形成的势垒，其动能就会低于晶格能量阈值，电子与晶格之间便不会产生能量交换。此时，电子不会损失能量，电子与晶格发生弹性散射，碰撞后仅有目标电子的速度与动量发生改变。

与此同时，其伙伴电子会瞬间调整速度，以保障伙伴电子对的总动量维持为零；相应地，相关联的另一伙伴电子对也会自然而然地具有相同的散射后的速度与动量——否则这一结构将遭到破坏。这正是超导态特有的量子关联效应，在正常态中绝无可能出现。电子在晶格中运动时，不断地与晶格碰撞，发生弹性散射，也就不断地改变其运动方向，但速率不变并且没有能量损耗；因此，宏观上呈现出零电阻效应。

对此可做一个形象比喻：舞台上跳双人舞的两位舞者，间距时近时远，但舞姿始终完全协调——否则便无美感可言。这两位舞者就如同库珀对中的两个电子：在真实空间中，两个舞者和两个电子都是彼此独立的个体，两个舞者在舞台上来回移动却始终保持动作协调。只不过，舞者的协调源于台下长期训练形成的心灵默契与肢体配合；而晶格中电子的协调，则是源于动量空间中库珀对的量子关联性所维持的动量与能量守恒。正因如此，电子在晶格中虽不断被散射，却能始终保持无能量损耗的运动状态，因而电阻为零。

[1] Leon N. Cooper, Phys. Rev. 104, 1189 (1956)

[2] J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity (Benjamin Inc., NY, 1964)

[3] V. L. Ginzburg, Physics – Uspekhi 43 (6) 573-583 (2000)

[4] J.D. Fan Ed.Endless quests: Theory, experiments and applications of frontiers of superconductivity, vol. 7,ISBN 978-981-3270-78-7  World Scientific: Singapore, 2019. 主编范江弟. 无尽的探索——超导前沿理论、实验和应用. 北京大学出版社: 北京, 2014.ISBN 978-7-301-25149-2GIC

[5] A. B. Migdal, Sov. Phys. JETP 34, 996 (1958)，或 A. B. Migdal, Soviet Phys. - J. Exper. Theor. Phys. 7, 996 (1958

[6] J. D. Fan and Y. M. Malozovsky, “Negative Isotope Effect in Superconductivity From Non-Retarded Repulsive Interaction,” International Journal of Modern Physics B, 17 (2003) 3458 (Part 2 of 2)

[7] Quartet Structures of Particles and Quasiparticles in the BCS Model; J. D. Fan* and Y. M.  Malozovsky; Journal of Superconductivity and Novel Magnetism:  23, 5 (2010) 655.

[8] J. D. Fan and Y. M. Malozovsky, Physica C, “The Origin of the 2e factor in the Josephson Effects,” Physica C 341-348 (1-4) (2000) pp. 197 - 198

[9] J. D. Fan and Y.M. Malozovsky; Sign Reversal of Interaction Between Quasiparticles; International Journal of Modern Physics B,27, 15 (2013) 1362035.

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