BCS 理论自发表后的 30 年间，前 15 年是超导界对其进行认识、质疑、争论与验证的阶段。最终，学界形成统一共识，该理论的提出者于 1972 年荣获诺贝尔物理学奖。此后，BCS 理论的影响力达到巅峰，直至 1987 年几乎未受到任何实质性挑战。

然而，铜基高温超导材料的发现打破了这一局面 —— 它们的高临界温度不仅让众多科学家陷入困惑，其展现出的一系列 “反常” 现象，更是令 BCS 理论完全无能为力。为解释高温超导现象，学界展开广泛研究，涌现出大量理论分析与深刻见解，若干理论模型逐渐成为超导领域的主流，推动人们对超导机制的理解不断深化。从本篇开始，笔者将简要介绍这些主要理论模型，然后介绍笔者与美国物理学家 Yuriy M. Malozovsky 共同创建的 FM（Fan-Malozovsky）理论。需要说明的是，笔者将打破常规叙述顺序，揭示 FM 理论最核心的成果及临界温度在当前室温超导探索中的重要作用。至于 FM 理论的基础原理与物理模型，将在第四篇文章中详细阐述。

一、某些专业术语和物理概念简介

一如既往，我们将以通俗易懂的方式解读深奥的超导机制理论，重点剖析理论思想的发展脉络，而非陷入繁杂的数学运算。对于非物理专业读者可能陌生的专业术语，我们也会优先进行解释说明。对那些在前文中已经介绍过的专业术语，读者可参阅前面的解释。

01 FM 理论（Fan-Malozovsky）

该理论是由范江弟（J.D. Fan）和 Y.M. Malozovsky 于上世纪 90 年代至本世纪初叶的一二十年间独树一帜创建的超导机制理论。它不属于超导界主流学派，但能够自圆其说。该理论的最大特色是把高低温超导机制统一起来，同时兼顾库伦相互作用和电声子相互作用的共存和竞争，并采用量子场论中的费曼图示法严密地推导而成。

02 常规超导和常温超导

国内学界常用常规超导一词来代表低温超导（Low—Temperature Superconductivity），也就是所谓的传统超导（Conventional Superconductivity）。而常温超导指的是室温超导（Room Temperature Superconductivity），因此读者需特别注意常规超导和常温超导一字之差相差甚远。

03 正常态（Normal State）

这里所谓的正常态是在超导研究中常用的术语，指的是在进入超导态之前从室温到临界温度整个温区，超导材料所处的物理状态。

04 掺杂（Doping）

这是半导体和超导体实验或生产中常用的术语，即在原来的材料本底上掺入外来的元素，比如半导体硅（Si）在高温下掺入磷原子，该磷原子放出一个电子后以其他四个硅原子形成共价键，致使硅材料成为N形半导体。对于超导体来说，掺杂与上述情况相似，就是在原来的绝缘本底材料中掺入载流子（电子或空穴）。

05 自旋单态（Spin Singlet）

这就是两个费米子（如电子）的自旋方向相反或者说成反平行排列，造成两费米子的总自旋为零的一种状态称之为自旋单态。

06 自旋三重态（Spin Triplet）

如果两费米子自旋同方向或者说平行排列导致总自旋为 1，因而它们在外磁场方向投影的三个分量分别为 -1,0,和+1。

07 共价键（Covalent Bond）

共价键是原子间通过共用电子对形成的化学键，其本质是原子核对共用电子对的静电吸引力与电子间、原子核间斥力达到平衡的结果。

08 量子数（Quantum Number）

按照量子力学，原子中的电子的能量轨道角动量和自旋的取值都是量子化的，或者说都是离散的。它们分别于一个整数或者半整数有关，并用符号 n、l 和 s 来代表，并称之为量子数。这里的 n=1、2、3……，称之为主量子数，分别代表原子的壳层；l=0、1、2、3……，称之为角量子数；l=0用符号 s 来代表，称之为 s 轨道，其形状为圆形；l=1用 p 来代表，称之为 p 轨道，其形状为椭圆形；l=2 用 d 来代表，叫做 d 轨道，其形状像一个对称的四片花瓣……；s=1/2 和 -1/2，称为自旋量子数。其中角动量和自旋在外磁场方向的投影称之为磁量子数，通常用m来表示。

09 莫特绝缘体（Mott Insulator）

这是一类因电子的强局域性，导致其无法参与导电的材料，其绝缘特性并非源于能带结构中存在不可逾越的能隙。

10 自旋涨落（Spin Fluctuation）

自旋涨落就是自旋的取向在热扰动或者强关联影响下的动态变化。

11 能带（Energy Band）

能带是指电子在周期性晶格中运动时，其能量在动量空间形成的分布状态。在这种分布中，存在电子可占据的能态区域（导带为其中一种）和电子无法占据的能隙区域（即禁带），这种能量分布的整体形态被称为能带。

12 蒙特卡洛（Monte Carlo—MC）方法

蒙特卡洛方法也称为蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）。“Monte Carlo” 源自欧洲小国摩纳哥的一座赌城之名，由此可见，该方法与赌场中的掷骰子原理相关 —— 换句话说，它通过随机抽样，从统计学角度研究目标对象，例如工程可靠性、股市走向以及宏观和微观物理量等。

举例来说，在一个 2×2（忽略单位）的正方形中有一个内切圆，显然该圆的半径为 1，其面积应为 π。若用蒙特卡洛方法求这个圆的面积，可以正方形为边界，随机向其中投掷大量小球。比如投掷 10000 次，假设落入圆中的小球有 7800 次，那么落入圆中的概率就是 0.78，再乘以正方形的面积 4，得到结果为 3.12。显然，这与实际面积 3.1416 仍有一定差距；如果将随机投掷小球的次数提高到十万甚至一百万次，落入圆内的概率会更加准确（比现有 0.78 略大），最终计算出的面积也会越来越接近真实值 3.1416。由此不难看出该方法处理具体问题的思路。当然，这个圆面积是个特例，我们有公式计算它，无需 MC 方法。如果正方形面积中是一个完全无规则的形状就可用 MC 方法求出其真实面积。

13 量子蒙特卡洛法（Quantum Monte Carlo Method）

该方法在原则上与上述蒙特卡洛法一致，差别在于蒙特卡洛法是不用量子力学处理宏观问题，而量子蒙特卡洛法处理的是基于量子力学的微观粒子系统中的相关物理量，例如能量、动量、位置、电荷分布等。

14 第一性原理（First Principle）

第一性原理有时也被称为 ab Initio。它的主要思想是不依赖任何经验数据或宏观公式，完全从微观最基本的粒子间相互作用出发，逐步求解我们所关心的宏观物理量。不难看出，在凝聚态物理中讨论最多的是微观电子系统，电子之间最基本的相互作用力就是库仑力。据此可以一步一步地计算：通常选取 1000 个以下的有限电子数，研究它们之间的相互作用，并根据量子力学计算出相关的能量、动量等物理量，进而导出电子微观行为在宏观上的表现，也就是我们关心的宏观物理量。这个方法的优点在于它是完全从最基本原理开始的计算，无需依赖诸多宏观理论支撑。然而，无论当今计算能力多么强大，1000 个电子相较于实际情况已经是微不足道的量了，且电子坐标数量已达 3000，这需要消耗相当长的计算时间和巨大电能。此外，当微观电子系统处于强关联状态时，该方法也会遇到类似 BCS 理论的困境。

15 耦合和关联（Coupling and Correlation）

在多电子体系中，电子间的库仑相互作用强度会因电子浓度不同而产生差异：当电子浓度较高时，每个电子会被周围大量电子紧密环绕，与较远处电子的相互作用因此被削弱，这就是所谓的库仑屏蔽效应，此时电子间的关联性较弱，称为弱关联；反之，当电子浓度较低时，单个电子可能与周围多个电子产生显著相互作用，这种状态则为电子间的强关联。由此可见，电子间的关联性是整个电子系统的集体行为。

系统中两个电子之间库仑相互作用的强弱称为耦合，因此有强耦合与弱耦合之分；而任意一个电子与其他所有电子间的库仑相互作用总和则称为关联，因此有强关联与弱关联之别。其实从英语 “Coupling” 和 “Correlation” 的原意中，就能看出二者的本质差异。

16 电子间耦合常数（Interelectronic Coupling Constant）

这是多粒子电子系统中定义的一个重要判据，它与电子的浓度紧密相关。它是描述两个电子之间相互作用强度的物理量，当电子浓度很高的时候，该物理量就很小就意味着该电子系统属于弱耦合。反之如果该物理量较大的时候就属于强耦合。这个常数是可以根据给定的材料的介电常数和层间距离以及载流子浓度完全计算出来的。

17 准电子（Quasi-electron）和电子有效质量（Effective mass of electron）

这里的准电子与第二篇提到的准电子概念既有相似之处，也存在一定差异。在多电子系统中，电子的运动因关联效应受到周围电子的显著影响，变得极为复杂，这也导致理论计算中出现了发散问题。为解决这一问题，人们将关联效应引发的发散统一归结为电子质量的变化 —— 所谓 “裸电子”，指的是无相互作用时的自由电子，其质量是确定的；而经这样的处理后，原本的裸电子仿佛裹上了一层 “衣服”，被称为 “穿衣电子”（Dressed Electron），也就是这里所说的准电子。

在理论层面，这些关联效应最终体现为裸电子质量的改变，而裸电子的质量经此转化后，便成为了有效质量（用m*表示），这一有效质量与穿衣电子（即准电子）的质量本质上是同一概念，二者完全等同。

二、超导发展史中的转折点

1986 年，美国 IBM 公司苏黎世实验室的缪勒（M. A. Muller）与柏德诺兹（J. G. Bednorz）在镧钡铜氧（LBCO）材料中突破性地发现超导电性，其临界温度约为 35K。这一成果最初发表于地方期刊《Zeitschrift für Physik B》，受传播范围限制，短期内未引起广泛关注。次年，美国休斯顿大学物理系的朱经武（Paul C.W. Chu）院士敏锐捕捉到这一发现的潜力，迅速将研究重心从磁性材料转向铜基超导材料 LBCO 的研制。

凭借深厚的超导研究积累，朱先生深知在高压下超导临界温度可略微提升；同时，考虑到 LBCO 材料的层状结构，他打算不依赖高压来减小层间距离。鉴于 LBCO 的层状结构特性，他大胆提出创新思路，改用体积更小的稀土元素钇（Y）替换体积较大的镧（La）元素。这一策略收获了惊人成效——新合成的 YBCO 超导临界温度飙升至 93-95K，远超预期。消息一经公布，立即引发全球超导界的轰动，多个国家的实验室如雨后春笋般争相复制 YBCO 材料。中国赵忠贤院士领导的团队也成功验证了这一成果，有力证实了 YBCO 超导体的可靠性。

值得深思的是，在 CuO 平面形成的层状结构绝缘材料中掺杂后就成为铜基高温超导材料。且临界温度突破传统认知数十倍。此前，科学家们执着于沿着 “绝缘体→半导体→导体→超导体” 的线性路径追求零电阻，而 LBCO 与 YBCO 的发现打破了这一固有思维。人们奇迹般的发现最好的超导材料并非存在于最佳的导体中，而突然跳回到绝缘材料，这不就构成一个循环吗？这看似违背常理的现象，却蕴含着深刻的科学哲理。对中国人来说，这种简单的哲理从小就是根深蒂固，我们小时候从父母的口中就知道“乐极生悲”“物极必反”的道理，科学探索同样遵循这个辩证规律。也就是说绝缘体和超导体，这种矛盾对立的两方却统一在同一块材料上，只是改变一下条件（即掺杂）而已。

缪勒、柏德诺兹与朱经武团队的发现不仅为超导领域开辟新方向，更启示我们：在科研困境中，或许需要跳出现有框架，遵循宇宙的循环规律，有时候可能需要以逆向思维探索未知。

值得着重指出的是，当年朱经武团队的核心成员都是来自中国的访问学者与博士研究生，仅有两三位美国白人本科生承担实验辅助工作。团队中的中国科研人员包括蒙如玲、孙延仪、吴茂昆、何北衡、高理、黄志军、陈峰等，他们都是其中的杰出代表。

起初，团队着手复刻缪勒与柏德诺兹发现的 LBCO 超导材料。在此过程中，蒙如玲女士发挥了关键作用。她凭借对固相烧结法的娴熟掌握，以该方法取代传统的化学沉淀法；在精细操作下，通过严格把控温度与通氧量，团队很快取得突破，成功烧制出 LBCO 块材。这一创新方法在后续 YBCO 超导块材的制作实验中得到进一步应用。当 YBCO 研制成功的消息公布后，全球相关学者纷纷急切探寻其制备过程，蒙如玲提出的固相烧结法也随之在世界范围内推广开来，并沿用至今。

虽然我当年是休斯顿大学物理系的博士研究生，但遗憾的是并未参与该团队的研究工作。不过，由于我的办公室紧邻他们的实验室，得以亲眼见证他们争分夺秒的科研热忱：无数个日夜，团队成员在实验室中废寝忘食地奋战，有时甚至会通宵达旦地投入工作，凌晨稍作休息、用过简单早餐后便立刻重返岗位。他们将中国人艰苦奋斗、不畏艰难的传统美德带到异国他乡，在 YBCO 高温超导材料的发现过程中发挥了关键作用。若非这种拼搏精神，团队绝不可能在短短数月内就成功研制出世界上第一块高温超导 YBCO 块材。

笔者写到这里，回顾这段超导研究的历史往事，不禁感慨万分，忍不住想再多说几句。自 1911 年超导现象被发现，直至 1978 年中国开启改革开放进程，在这长达半个多世纪的时光里，中国人与超导领域几乎无缘。不过幸运的是，彼时超导技术本身的发展也相对迟缓，其应用市场同样十分有限，尚处于前沿科技探索的萌芽阶段。

如上所述，1987 年美国休斯顿大学朱经武团队成功发现 YBCO 高温超导材料，而这一标志性事件中，中国科研力量的深度参与，意味着中国人从此跻身超导研究前列。尽管我国超导研究起步比西方晚了半个多世纪，但当该领域真正迎来高速发展浪潮时，中国科研力量已实现强势崛起。

经过多年的学术积淀与不懈奋斗，北京、成都、西安、上海等地已形成多支实力雄厚的超导科研团队。这些团队中，不少成员是海外归来的学者，他们中许多人成了团队领导和技术骨干。其中以赵忠贤、陈立泉、赵柏儒、王家素、王素玉、周廉、冯勇、李贻杰、洪志勇等为代表的一批优秀人才，先后建立起超导新材料及应用研发实验室以及高低温材料生产线；此外，以龚昌德、甘子钊两位院士为领头人的超导理论研究小组也持续深耕。由此，中国已成功构建起涵盖理论研究、实验探索、应用技术开发及产业生产的完整超导创新体系，为我国科技事业的跨越式发展注入了强劲动力，更在全球超导领域书写了不可磨灭的中国印记。

除上述学者外，还有许多留学归国的学子投身祖国建设，就笔者所认识的并且记得住名字的人就有邢定钰、雷啸霖、潘复生、林海青、张酣、郭卫、尹澜、赵勇、翁征宇、高炬、汪子丹、靳常青、冯世平、舒启清、张华堂、杨帆、韩鹏、许敏、马光同、邓自刚、郑珺、王为、李婧、翟雨佳、李照东……，可谓不胜枚举。这些归国人才中，虽非所有人都专注于超导研究，但均为各自领域的专家，部分甚至担任了中高级领导职务，在更广阔的平台上贡献力量。

每当思及于此，我总会由衷敬佩我国改革开放的总设计师邓小平。正是他以非凡的胆识和魄力，冲破传统观念的束缚，推动改革开放政策落地，打开国门派遣大批中青年科研人才出国深造（笔者就是这个政策的受益者之一），才为中国科技发展注入源源不断的活力，造就了如今的蓬勃盛景。即便部分学子因种种原因仍留在海外，他们也通过学术交流、技术合作和人才培养等多元途径，持续为祖国的科技进步贡献力量。还有一些学者借助海外先进设备和条件为祖国培养输送人才，比如澳大利亚的窦世学和刘化鹍院士夫妇，为国家培养了三四十位博士，以及接纳和培养了众多的访问学者，几乎是百分之百的送回国，其中好几位已成为院士，其他人也都成了所在单位的栋梁之材；又如美国斯坦福大学的高华健教授，培养了 30 多位博士，其中有人当选院士，他不仅鼓励这些人才回国服务，自己也最终归国，在清华大学担任教授，继续为国效力。当然，还有更多类似的人士，限于我个人了解的信息有限，在此就不一一枚举了。

三、BCS理论面临的困难和挑战

在铜基高温超导 YBCO 发现后的若干年内，进而发现了铋（Bi）系和汞（Hg）系高温超导材料，它们的临界温度分别约等于 110 K和 135 K，汞系在高压情况下甚至可达 165 K 左右。这些发现都远远超出了 BCS 理论的预期。

1 超导临界温度上限的突破

基于 BCS 理论框架，麦克米兰（William McMillan）推导出一个经验公式，据此确立了 “麦克米兰上限”，明确指出超导材料的最高临界温度不会超过 40K。然而，1987年之后的研究发现，铜基高温超导材料的临界温度都远远超过麦克米兰极限。

近年来，铁基、镍基等新型超导材料相继被发现，其临界温度同样突破 40K，接近液氮的气化温度。这些材料的出现，进一步暴露了 BCS 理论的局限性：它既无法在理论层面预测高临界温度超导材料的存在，也难以在实验发现后，对这类材料的超导机制给出合理的理论解释。

2 同位素效应的消失

在所有发现的高温超导材料中，几乎都没有同位素效应；即便存在，其同位素指数也与 BCS 理论预期的 0.5 相差甚远。部分材料的同位素指数既可为正，也可为零，甚至为负。这种现象完全超出了 BCS 理论的解释范畴，从该理论的视角出发，根本无法理解此类异常的同位素效应表现。

3 正常态中的反常现象

在高温超导材料的正常态中，若干物理量展现出显著的反常现象。以电阻率与绝对温度的关系为例，二者直至临界温度的广泛温区都几乎呈线性关系。与常规超导呈现出的情况显著不同。这类反常现象完全超出了 BCS 理论的解释能力范畴，无法通过该理论进行推导和诠释，成为挑战 BCS 理论适用性的重要依据。

4 超导能隙的对称性变化

在常规超导中材料结构是各向同性的，相应的在费米面附近产生的超导能隙在二维平面下就是个圆周，通常用 s 来表示，称之为 s 波（s-Wave）对称，可以看出能隙在各个方向上是相同的。然而在铁基超导材料是层状结构，因此是各向异性的。实验时观测到的能隙结构像一个四片花瓣那样，习惯上用

来表示，这里的应该是，因为这里的讨论都是在动量空间（ k 空间）中进行的，所以用x代替，用y来代替，否则符号就太复杂了。不难看出代表的是像四叶花瓣的图形。 称之为 d 波（d-Wave）对称。这里的 s 和 d 来源于原子物理学中轨道角动量量子数l的取值。s 对应于 l=0，d 对应于 l=2。至于为何称之为 s 波和 d 波是因为相应的电子波函数的对称性。

从 BCS 理论只能导出 s 波的能隙，而铁基以及后来发现的非常规超导体的能隙对称性许多都是 d 波甚至呈现更复杂的图形。普遍认为超导能隙对称性的变化是由于电子间的强关联性效应所致。

四、 1987年后高温超导机制研究的主要理论模型

在 1986 年发现第一支铜基超导材料 LBCO 以后，超导理论界掀起了探索高温超导机制的热潮。科学家们一方面致力于维护 BCS 理论的权威性，另一方面也意识到需要构建新的理论框架以阐释高温超导特性。当时超导学界形成共识：电声子相互作用强度不足，其形成的库珀对较易被破坏，进而导致超导临界温度不高。因此，科学家们的核心研究方向在于探寻新机制，以形成更强的库珀对束缚态，这被视为发现更高临界温度超导材料的关键路径。从理论发展脉络看，超导机制被划分为高温低温两段。当前超导学界普遍认为不同的温区的库珀对形成机制存在本质差异。然而高低温的划分是相对的，必然有一个过渡区。目前流行的划分是以液氮的气化温度 77K 为分界线，按此标准 LBCO 就被划在低温超导范畴显然是不恰当的。这意味着高温与低温之间存在过渡区，而一个完美的理论应当能平滑衔接两个区域，且不会产生矛盾。

1 紧束缚模型（Tight Binding Model）

紧束缚模型是研究固体中电子行为的简化模型，其核心思路是：将电子视为被 “束缚” 在原子附近，仅在相邻原子间发生微弱的 “跳跃”（即跃迁）。这就像一群人在各自座位上活动，偶尔会起身到旁边座位短暂停留一样，该模型中用t来描述电子的跃迁能量（Hopping Energy），当t很大时，表明电子跳到相邻格点或者更远的区域的可能性更大，并有可能成为自由电子参与导电；如果t很小，电子就被局域化，这就是紧束缚模型的原意。该模型最初的目的就是用它来计算电子在周期性晶格中的能带结构，以此来解释金属、半导体等材料的导电性等物理性质。

这一模型早在 1928 年就提出来了，在该模型框架下，电子的波函数由原子轨道波函数的线性组合（Linear Combination of Atomic Orbits，简称 LCAO）构成。当铜基高温超导体被发现后，研究者们想到在紧束缚模型的哈密顿量中引入一个相互作用项，用以描述高温超导现象，哈伯德模型和 t—j 模型便是在这一背景下发展出来的理论成果。

需要明确的是，紧束缚模型不仅仅可以用于高温超导的研究，低温超导研究也可采用。例如，当模型中的相互作用项为电声子相互作用时，它就成为了 BCS 理论的原型；而当引入强关联相互作用势能 U 时，便形成了哈伯德模型，t—j 模型则是哈伯德模型的另一种延伸形式。

2 哈伯德模型（Hubhard Model）

在超导理论研究领域，哈伯德模型（Hubbard Model）长期以来始终是理论物理学家关注的核心课题之一。该模型由哈伯德（John Hubbard）、古茨维勒（Martin Gutzwiller）和金森顺次郎（Junjiro Kanamori）等人于 1963 年分别独立提出，其初衷是阐释金属中因电子强关联效应引发的物理现象。1986 年铜基高温超导体被发现后，超导界普遍认为库伦强关联相互作用在超导机制中的影响不可忽略。

哈伯德模型的核心价值在于精准捕捉了高温超导形成的本质原因 —— 库伦强关联作用，从而为描述强关联多粒子系统提供了重要的理论框架。该模型的哈密顿量包含两个关键项：第一项是紧束缚模型中的跃迁能 t；第二项则代表电子间的库伦强关联相互作用，用参数 U 表示（U 为正值常数）。当 U≫t 时，强关联作用起主导，电子跃迁受抑制而呈现局域化特征，此时材料母体表现为莫特绝缘体。在铁基超导材料中，未掺杂的母体材料通常呈现莫特（Mott）绝缘态，其电子自旋会形成规则的反平行排列，构成反铁磁有序区域。当存在电子强关联效应时，这种有序自旋排列会受到扰动，产生所谓的自旋涨落。目前的理论研究表明，这种自旋涨落可能通过形成自旋单态（Spin Singlet）的机制，促使两个电子配对形成库珀对，进而诱导超导态的出现。

需要说明的是，哈伯德模型将 U 设定为常数，本质上是通过平均场近似对复杂的多电子相互作用进行简化处理。从求解难度来看，目前仅有一维情形下的哈伯德模型能够获得严格解析解；二维情形需依赖量子蒙特卡洛等数值计算方法；而三维模型由于数学复杂度极高，即便借助当前最先进的高性能计算资源，仍未得到可靠的数值解。这一现状也反映出强关联多体问题的理论研究仍面临巨大挑战。

3 t—j模型（t—j Model）

t—j 模型是于 1977 年从哈伯德模型演变而来，它是动量空间中哈伯德模型哈密顿量的另一种表述形式。在该模型中，参数 t 称为跃迁能，描述电子在相邻格点间的跃迁能力，t 值越大，跃迁几率越高；参数 j 表示自旋交换作用（Spin Exchange Interaction），反映相邻格点间电子自旋的相互作用强度。

与哈伯德模型相比，t—j 模型引入了参数 j=4t²/U。其中 U 与哈伯德模型中的定义一致，由此可见，t—j 模型兼顾了电子间的库仑相互作用和电子跃迁。由于电子间存在较强的库仑排斥作用，电子会尽量避免占据已被其他电子占据的格点；但受 t 和 U 的相互制约，电子仍有可能跃迁到相邻格点，并与该格点的电子形成自旋单态，不过这一自旋单态也可能因较强的库仑排斥作用而被破坏。这就是自旋涨落的原因，当材料被掺杂引入载流子后，就可能成为电子（空穴）形成库珀对的根源。

需要指出的是，t—j 模型虽源于哈伯德模型，但通过引入约束条件（如禁止双重占据），将电子间的强库仑排斥作用纳入考量，因此在描述强关联系统时更为精细。

4 共振价键(Resonating Valence Bond)模型

1987 年，美国著名物理学家、诺贝尔奖得主安德森（Philip Anderson）提出了共振价键模型（简称 RVB 模型），其核心目标是解释强耦合电子间通过吸引力形成库珀对的微观机制。该模型并非全新构建，而是在哈伯德模型和 t—j 模型的基础上延伸发展而来，最初用于阐释当时新发现的镧钡铜氧（LBCO）体系的超导电性 —— 掺杂前的 LBCO 同样属于莫特绝缘体，在其铜氧层平面中，铜原子 3d 轨道上的电子除 1 个未形成共价键的电子外，其余均与氧原子的 2p 轨道电子形成共价键。此时，晶格中未形成共价键的电子，会与相邻格点中状态相似的单电子通过自旋反平行排列形成局域化自旋单态（以实现系统能量最低），进而构成反铁磁有序区域。由于电子间的强关联作用引发共价键振动，最终形成短程的莫特绝缘区。

不过，安德森在 RVB 模型中提出了一个惊人的物理概念：他将掺杂载流子中的电荷与自旋分裂为两个独立的虚粒子 —— 对于电子掺杂，分为自旋子（Spinon）和电荷子（Chargon）；对于空穴掺杂，则分为自旋子和空穴子（Holon）。如此一来，掺杂后自旋子可独立于电荷在空间运动，如同 BCS 理论中的声子那样，促使电荷子或空穴子结合成更紧密的束缚态，而这样形成的电荷子或空穴子库珀对便构成了超导电流。

RVB 模型的重要贡献之一，是解释了铜基高温超导体的超导能隙具有 d 波对称性，这一结论得到了部分实验的支持。但模型中 “自旋 — 电荷分离” 的假说存在巨大争议：尽管有部分学者认同这一构想，但更多研究者认为，现有实验证据表明电子的电荷与自旋在物理层面无法分离，因此该模型被视作偏离实际的理论推测，后续研究也未能取得突破性进展。

5 条纹序模型（Stripe Order Model）

在铜基高温超导材料的中子散射实验中，研究人员观察到黑白相间的有序条纹结构。有学者指出，明亮条纹可能是反铁磁性区域自旋反平行有序排列所致，而暗色条纹则被认为是掺杂引入的载流子（电子或空穴）破坏了自旋有序排列，造成该区域杂乱无章，致使中子散射暗淡而成。由此看出，明暗相间条纹意味着反铁磁性区和载流子区共存并相互竞争。载流子区实际上也就是超导区，所以说在铁基超导材料中，超导区和反铁磁区相间共存。据此，部分学者试图从这种双相竞争机制出发，探索高温超导现象的产生机理。

6 自旋口袋模型（Spin Bag Model）

自旋口袋模型由美籍华人物理学家文小刚提出，其核心思想源于对铜基超导材料的研究。这类材料在未掺杂时属于典型的莫特绝缘体，并具有反铁磁性。

当对其进行掺杂后，材料中的载流子浓度远低于常规金属，通常低数百至数千倍。此时，粒子间的量子关联作用极强，原有的规则自旋反平行排列模式受到显著扰动 —— 这些自旋仿佛被 “挤压” 进特定的区域，形成类似 “口袋” 的结构，“自旋口袋模型” 由此得名。

该模型认为，自旋口袋中的量子涨落充当了载流子形成束缚态的媒介，其作用强度显著强于以声子为媒介的常规库珀对束缚作用。基于这一机制，该模型能够定性解释铜基超导体能隙结构的主要特征，进而阐释其较高临界温度的超导现象。

上述介绍的几种高温超导机制理论模型，是笔者所了解但尚未深入研究的几种范式。事实上，近几十年来，众多学者已提出了多种理论观点。例如密度泛函理论（Density Functional Theory）、动态平均场理论（Dynamic Mean Field Theory）等；还有学者尝试通过第一性原理（First Principle 或 ab Initio）研究高温超导电性，也取得了一些可喜成果。其他用于解释高温超导现象的模型，在此不再逐一赘述。

不难发现，上述模型的共同特点是：它们不仅能解释高温超导的部分现象，还能很好地诠释能隙的变化。

总之，近几十年来，学界始终在不懈探索，力求构建出能完美阐释高温超导微观机制的理论体系，并已形成共识：库仑相互作用在高温超导的微观机制中起着关键作用。众所周知，高温超导材料中载流子浓度很低，导致库仑相互作用的关联性极强，而如何处理电子间的强关联作用，正是多体物理中的一大难题。在这一领域，FM 理论已开展了大量研究，笔者将在第四篇文章中加以阐述。尽管该理论体系极为复杂，且推导过程需借助多数研究者较为陌生的费曼图处理技术，从本文下一节即将展示的 FM 理论超导临界温度解析表达式，我们已能窥见其复杂程度之一斑。

五、 超导机制理论可参考的范式

在过去几十年间，超导机制理论的主流探索方向始终是：在承认 BCS 理论对常规超导适用性的前提下，寻求库珀对形成的新机制，以解释并理解类似 YBCO 这类材料的高临界温度特性，以及所观察到的在正常态中的反常物理现象。超导学界为此提出了如上所述的若干高温超导机制理论模型，其核心思路是将超导现象按温度高低划分为不同区间，为每个区间分别建立机制理论。

分段理论对超导电性的理解起到了重要作用 —— 毕竟人类的认知是逐步深化的，在尚未达到足够深度时，往往需要通过分段解释的方式，阐述不同时期发现的超导临界温度产生的原因及实验观测到的其他反常物理现象等—— 但构建统一的机制理论才是科学界梦寐以求的目标。

在此，笔者想给出两个理论范式来阐明笔者的意愿，第一个例子是在量子力学诞生前夜物理学中出现的黑体辐射中的 “紫外灾难”（Ultraviolet Catastrophe），以启发大家的认知与理解。19 世纪末，科学家通过实验观测到黑体（Black Body）辐射的规律，获得了理想的实验结果。随后，依据经典电动力学，瑞利（Lord Rayleigh）和金斯（James Jeans）推导出黑体辐射的理论计算结果。该结果在低频段与实验数据吻合尚可，但随着频率升高，与实验结果的偏差越来越大，这一现象被称为 “紫外灾难”。

1900 年，德国物理学家普朗克（Max Planck）受爱因斯坦提出的每个光子能量hν（其中h后来被命名为普朗克常数，ν为光子频率）启发，提出黑体辐射中的能量发射并非连续，而是以量子化的形式一份一份辐射。也就是说，一个光子携带hν的能量，n个光子携带的总能量就是nhν。因此，在推导黑体辐射能量公式时，他将原来对能量的积分改为求和，从而得出了惊人的结果：原本在瑞利 - 金斯定律中发散的曲线，收敛成一个最大值后，随频率增加逐渐衰减并最终趋于零，与实验数据实现了精确吻合。基于这一成果，普朗克还推导出斯特藩 - 玻尔兹曼（Stefan - Boltzmann）辐射定律，即黑体辐射的总能量与辐射体绝对温度的四次方成正比，这个比例系数也可以通过普朗克公式推导出来，并与实验结果相当吻合。在许多量子力学教科书上，黑体辐射这个典型范例往往放在首页介绍给学生，作为量子力学的启蒙知识。前文提到的斯特藩 - 玻尔兹曼定律系数也可作为习题，让学生进行计算练习。

从黑体辐射理论的发展历程可以看出，经典的瑞利—金斯理论仅适用于低频段的辐射，而对于中高频段的辐射，只有普朗克的理论才能给出正确的结果。这意味着，一个完善的辐射理论应当涵盖从低频到高频的所有频率范围的辐射，那就是普朗克的黑体辐射理论。

另一个范式可表述如下：在经典力学中，牛顿三大定律广为人知，深刻影响着人们对宏观世界物体运动规律的认知。其中它的动能公式简单的可以写为 E_k=1/2mv²，在这个公式里，v 则表示物体的运动速度，m 代表物体的质量。在牛顿力学的理论框架下，物体的质量具有不变性，即静质量与动质量相等。

当物体运动速度接近光速时，牛顿力学就不再适用，而必须采用爱因斯坦狭义相对论。根据相对论，运动物体质量不再恒定不变，而是遵循质速关系  ,其中 M 为动质量，m 为静止质量，C是光速  。同时，爱因斯坦质能公式，一个质量为m的物体蕴藏的总能量E=mc²  揭示了质量与能量的等价关系，重新定义了我们对物体能量的认知。

在相对论中，一个物体的动能  等于该物体在运动中的总能量减去它的静止总能量，即  ，其中 m 为静止质量，与牛顿力学中的质量概念一致。当速度远远小于光速时，质速关系可以用泰勒级数展开，并保持一级项，忽略高阶项得到  ,代入相对论动能公式  ，最终推导出这与牛顿力学的动能公式完全一致。由此可见，牛顿力学的动能公式是狭义相对论在低速条件下的近似，展现出理论间的继承与拓展关系。

写到这里，笔者不禁回想起当年还是大学生的时候，曾对这两个理论之间的奇妙联系感到无比惊讶与振奋：惊讶于看似毫不相干的两个理论，竟能以如此精妙的方式彼此关联；振奋于物理与数学之间牢不可破的紧密联系 —— 仅仅通过一次泰勒级数展开，就将超高速与常规速度运动中的物理量巧妙地衔接起来。

由此不禁想到，一个合理的超导机制理论，或许也应当像上述两个范例一样：要么如同普朗克的辐射理论，具备覆盖全温度区域的能力；要么类似牛顿力学与相对论，虽分段适用于高低温不同区域，却能实现从高温到低温的平滑过渡。唯有这样的理论，才称得上是可被接受的完善理论。

六、FM理论的主要成果及其在室温超导探索中的作用

众所周知，制约超导技术应用的关键瓶颈在于临界温度过低：无论是高温超导还是低温超导，都需要复杂的超低温恒温系统。即便是 YBCO 这类高温超导材料，也需用液氮冷却至-196℃；尽管液氮成本较低，但超低温恒温系统的建造、运营及维护成本仍相当可观，且使用不便。市场所需超导材料的临界温度最好接近室温温区，为此，无数科研人员倾注甚至毕生精力苦苦求索。然而，由于缺乏理论指导，提高临界温度的研究只能依靠经验与传统认知摸索，一步步尝试，既耗时又耗费财力。

以上述两个范式为例，一个能被广泛接受的超导机制理论应当实现高低温超导的统一 —— 从接近绝对零度到室温甚至更高的温度范围，存在一套适用于这一广大温区的统一机制。这里介绍的 FM 理论正是这一方向的探索成果：该理论在量子场论框架下，采用费曼图示法描述多电子系统的库仑相互作用，将强关联与弱关联状态纳入同一机制统一考量，同时兼顾库仑相互作用与电声子相互作用的共存与竞争。不过，在此我们仅对该理论的主要成果进行梳理，尤其聚焦其导出的适用于全温度区间的临界温度公式在室温超导探索中的作用，展开简要介绍与讨论，以期阐明该理论的复杂程度及其实验应用路径。

1.根据该理论最终导出了涵盖全温区的超导临界温度的解析表达式，如下所见。

2.导出了不同情况下的同位素效应，其同位素指数可为正，也可为负，甚至为零。

3.也成功地导出了能隙的表达式。

4.成功地解释了在正常态所观察到的反常物理现象。

以上列出的结果均由 FM 理论直接推导而来，涵盖全温度区间，无需区分高温与低温。至于系统中微观电子如何形成库珀对，FM 理论已严格推导出：库珀对的形成源于库仑力在动量空间的符号发生条件性改变。此外，推导过程中还意外得到了一项重要副产品 —— 物理学界广为接受的泡利不相容原理。具体陈述如下：

1.证明了两电子间的库仑相互作用在动量空间既可能是排斥力，也可能是吸引力：当两电子动量相反且处于自旋单态（即自旋反平行排列）时，库仑相互作用为吸引力；而当两电子动量相反且处于自旋三重态（即自旋平行排列）时，库仑相互作用仍为排斥力。

2.在推导上述库仑相互作用在动量空间可能反向的过程中，还得到了一项副产品 —— 即推导出了泡利不相容原理。该原理由美籍奥地利物理学家泡利（Wolfgang Pauli）于 1925 年作为公理提出，无需证明即被广泛接受，且其正确性已为无数实验所验证。这就反过来证明了 FM 理论的基础和物理模型是正确的，要不然就不可能顺便导出了泡利不相容原理。

FM理论导出的超导临界温度解析表达式为： 

其中，  为有效波尔能,  m* 是准电子质量或自由电子有效质量(可用自洽方式计算)；e就是自由电子电荷；κ 本底材料的介电常数。  电子间耦合常数；v_F  = p_F/m*  ,其中费米动量:  p_F  = (2π n_s )^1/2,这里n_s  是电子的二维浓度，ζ = 2p_Fc其中c为层状结构的本底材料的的层间距离.

上式中的两个数值积分为：

在上述临界温度的表达式中，所有参数均具有明确的物理意义，未引入任何未知的人为可调参数。对于任意一块超导材料，只要测定其介电常数、层间距离和载流子浓度，即可计算出该材料的临界温度。

该公式初看与 BCS 理论的临界温度公式存在几分相似，实则复杂得多：其指数项中包含的有效参数  涉及两个数值积分，且直接关联材料自身的介电常数 κ、层间距离 c 等具有明确物理意义的参数。

尤为关键的是，这个临界温度公式属于泛函（即 “函数的函数”），但最终仍与实验中可确定的具体物理及结构参数存在复杂关系，这些参数包括介电常数、层间距离和载流子浓度。

尽管该理论结果较为复杂，但其核心价值在于明确了临界温度与实验可测物理及结构参数之间的关系。在实验开展前，我们可借助 AI 技术求解临界温度泛函的极大值，从而确定临界温度的可能上限及相应参数的取值范围。这为实验学家探索室温超导提供了明确方向：研究者可依据 AI 计算结果设计材料结构、筛选组成元素，以满足临界温度极大值的条件；随后通过实验合成材料，测试其临界温度及相关物理、结构参数；若未达理想值，则调整元素种类或材料结构，反复优化直至实现目标。这一过程无疑是漫长且艰巨的反复探索，但相比 “盲人摸象” 式的尝试，显然更具针对性。

无论如何，该公式为探索更高临界温度的超导材料 —— 特别是人们最关注的室温超导材料 —— 指明了方向。